Granice pewnych funkcji specjalnych

Twierdzenie 1: o granicach pewnych funkcji specjalnych

$ \lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e $

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a, \hspace{1em} $dla $ a > 0 $

Przykład 1:

Oblicz granicę $ \lim\limits_{x \to 0}⁡(1+\sin x)^{2 \operatorname{ctg} x} $.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że $ \lim\limits_{x \to 0}⁡(1+\sin x)^{2 \operatorname{ctg} x}=[1^{\infty}]= \lim\limits_{x \to 0}⁡⁡(1+\sin x)^{ \frac{2 \cos x}{\sin x}}= \lim\limits_{x \to 0}⁡⁡ [(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} ]^{2 \cos x} $.
Aby obliczyć granicę $ \lim\limits_{x \to 0}⁡(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} $ dokonujemy zamiany zmiennej $ y=\sin x $ i obliczamy granicę $ \lim\limits_{x \to 0}⁡ \sin x=0 $. Korzystamy z twierdzenia Własności granic funkcji-o zamianie zmiennej w granicy otrzymując $ \lim\limits_{x \to 0}⁡(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}= \lim\limits_{y \to 0}⁡⁡(1+y)^{\frac{1}{y}}=e $. Wiemy również, że funkcja $ \cos x $ ma w punkcie zero granicę równą jeden, a zatem

$ \lim\limits_{x \to 0}⁡⁡ [(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} ]^{2 \cos x}=e^2. $

Przykład 2:

Oblicz granicę $ \lim\limits_{x \to 1}⁡⁡ \frac{2^{x-1}-1}{3^x-3} $.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $ \lim\limits_{x \to 1}⁡\frac{2^{x-1}-1}{3^x-3}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to 1}⁡ \frac{2^{x-1}-1}{3(3^{x-1}-1)} $. Dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając $ y=x-1 $ i obliczamy granicę $ \lim\limits_{x \to 1}(x-1)=0 $. Korzystamy z twierdzenia Własności granic funkcji-o zamianie zmiennej w granicy otrzymując

$ \lim\limits_{x \to 1}⁡ \frac{2^{x-1}-1}{3(3^{x-1}-1)}=\frac{1}{3} \lim\limits_{y \to 0}⁡\frac{2^y-1}{3^y-1}=\frac{1}{3} \lim\limits_{y \to 0}⁡\frac{2^y-1}{y} \cdot \frac{y}{3^y-1}=\frac{1}{3} \ln 2 \cdot \frac{1}{\ln 3}. $

Twierdzenie 2: o granicach pewnych funkcji, które w zerze mają granicę jeden

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 $

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}=1 $

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \arcsin x}{x}=1 $

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \operatorname{arctg} x}{x}=1 $

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln⁡(x+1)}{x}=1 $

$Interpretacja geometryczna granicy ::{OPENAGHMATHJAX()}\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}{OPENAGHMATHJAX}::%%%$

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna granicy

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $

Komentarz
Rys. 1 przedstawia wykresy funkcji $ x $ oraz $ \sin x $ w otoczeniu punktu $ x_0=0 $. Zauważamy, że jeżeli przyjrzymy się bliżej małemu otoczeniu punktu zero, to wykresy obydwu funkcji są prawie nierozróżnialne, dlatego też w granicy, przy argumencie zmierzającym do zera granica ilorazu tych funkcji wynosi $ 1 $. Czyli symbol nieoznaczony $ [\frac{0}{0}] $, który otrzymujemy licząc granicę $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ w tym szczególnym przypadku daje wartość $ 1 $. Analogicznie, analizując wykresy pozostałych funkcji występujących w innych podpunktach powyższego twierdzenia, otrzymujemy w granicy taki sam wynik.

Przykład 3:

Oblicz granicę $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{2x} $.

Rozwiązanie:

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{2x}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} $

W celu obliczenia granicy $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{3x} $ dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając $ y=3x $, przy czym $ \lim\limits_{x \to 0} 2x=0 $. Mamy zatem

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2}=\lim\limits_{y \to 0} \frac{ \operatorname{tg} y}{y} \cdot \frac{3}{2}=[1 \cdot \frac{3}{2}]=\frac{3}{2}. $

Przykład 4:

Oblicz granicę $ \lim\limits_{x \to 0}⁡\frac{\arcsin 4x}{\sin 2x} $

Rozwiązanie:

$ \lim\limits_{x \to 0}⁡\frac{\arcsin 4x}{\sin 2x} =[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to 0}⁡\frac{\arcsin 4x}{4x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{4}{2} $

W celu obliczenia granicy $ \lim\limits_{x \to 0}⁡\frac{\arcsin 4x}{4x} $ dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając $ y=4x $, przy czym $ \lim\limits_{x \to 0} 4x=0 $, a w celu obliczenia granicy $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $ dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając $ y=2x $, przy czym $ \lim\limits_{x \to 0} 3x=0 $. Mamy zatem

$ \lim\limits_{x \to 0}⁡\frac{\arcsin 4x}{4x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{4}{2}=\lim\limits_{x \to 0}⁡\frac{\arcsin 4x}{4x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 2x}{2x}} \cdot \frac{4}{2}=[1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{2}]=2. $

Przykład 5:

Oblicz granicę $ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{ctg} x}{2x- \pi} $.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że $ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{ctg} x}{2x- \pi}=[\frac{0}{0}] $. W celu obliczenia granicy dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając $ y=2x- \pi $, wtedy $ x=\frac{y+ \pi}{2} $ i granica nowej zmiennej $ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (2x- \pi)=0 $. Korzystamy z twierdzenia Własności granic funkcji-o zamianie zmiennej w granicy oraz wzoru redukcyjnego $ \operatorname{ctg} (\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})=-\operatorname{tg} \frac{y}{2} $ otrzymując

$ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{ctg} x}{2x- \pi}=\lim\limits_{y \to 0}⁡\frac{\operatorname{ctg} (\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}{y}=\lim\limits_{y \to 0} \frac{⁡⁡-\operatorname{tg} \frac{y}{2}}{y}=\lim\limits_{y \to 0}⁡ \frac{- \operatorname{tg} \frac{y}{2}}{\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{2}. $

Aby obliczyć granicę $ \lim\limits_{y \to 0}⁡ \frac{- \operatorname{tg} \frac{y}{2}}{\frac{y}{2}} $ jeszcze raz dokonujemy zmiany zmiennej podstawiając $ z=\frac{y}{2} $, przy czym $ \lim\limits_{y \to 0} \frac{y}{2}=0 $, a zatem

$ \lim\limits_{y \to 0}⁡ \frac{- \operatorname{tg} \frac{y}{2}}{\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{2} =\lim\limits_{z \to 0}⁡ \frac{- \operatorname{tg} z}{z} \cdot \frac{1}{2}=[-1 \cdot \frac{1}{2}]=-\frac{1}{2}. $

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka